Cosa si intende per “Sezione Aurea”.

Se dividiamo un segmento (per semplicità di lunghezza 1) in due parti non uguali in modo tale che la parte più corta sta alla parte più lunga come la parte più lunga sta al segmento intero, otterremo che la parte più lunga misurerà 0,618033… e quella più corta 0,381966… Abbiamo così costruito una “Sezione Aurea”.

La “Sezione Aurea” quindi è un rapporto: il rapporto tra 1 e 0,618033… e tra 0,618033… e 0,381966…
(Un po’ come succede quando si parla del rapporto tra i due lati del rettangolo formato dalla pellicola 24X36 che hanno un rapporto di 1,5).

Questo rapporto si esprime con il reciproco di 0,618033… ovvero 1/0,618033… che dà come risultato: 1,618033…
Strano numero questo no? La serie di decimali rimane invariata!

Per precisione la “Sezione Aurea” si esprime come: 1 più, radice quadrata di 5 meno 1, fratto 2.

Da questa regolina possiamo costruire altre figure geometriche più complesse come il "Rettangolo Aureo"
Come si può notare (vedi allegato) ogni rettangolo che deriva da ogni passo successivo, è simile ovvero ha le stesse proporzioni tra i lati lunghi e quelli corti.

Oppure il "Triangolo Aureo"
Anche in questo caso, il triangolo derivato avrà sempre due angoli di 72° e uno di 36°.

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La Sezione Aurea fu studiata già dai Pitagorici e fu considerato come rapporto più ...estetico che esistesse!

Venne e viene tuttora utilizzata in architettura (Il Partenone ha una struttura basata totalmente sulla Sezione Aurea) e nella pittura. Alcuni esempi molto celebri:

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Veniamo a noi.
A noi fotografi che dobbiamo creare delle composizioni gradevoli, che dobbiamo suddividere lo spazio in proporzioni che seguano le regole dell'equilibrio.

Anche senza saperlo, utilizziamo molto spesso la Sezione Aurea.

Non ci credete? Ecco degli esempi di immagini realizzate da alcuni amici.
Nick: BeneKILL, Doge, mariomc2.

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Curiosità:
Il matematico italiano Fibonacci (XIIIsec) che tra l'altro ebbe il merito di introdurre in Europa i numeri e la matematica araba, inventò una sequenza di numeri che prende il suo nome: Sequenza di Fibonacci.
In questa sequenza ogni numero è la somma dei due che lo precedono:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ....etc...

Da questa successione se ne può formare una di tipo frazionario
(ovvero calcoliamo i rapporti esistenti tra due numeri consecutivi):
1/1, 2/1, 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, 55/34, 89/55, 144/89, ...etc...

I valori decimali di queste frazioni sono:
1; 2; 1,5; 1,666; 1,6; 1,625; 1,615; 1,619; 1,617; 1,6181; 1,6180; ...etc...
Man mano che si procede, il rapporto si avvicina sempre di più al rapporto aureo.

Anche partendo da una qualunque altra coppia di numeri, non solo da 1, 1.
Prendiamo due numeri a caso: 9 e 3.
9, 3, 12, 15, 27, 42, 69, 111, 180, 291, 471, ...etc...

Le frazioni:
3/9, 12/3, 15/12, 27/15, 42/27, 69/42, 111/69, 180/111, 291/180, 471/291, ...etc...

I loro valori decimali:
0,333; 4; 1,25; 1,8; 1,555; 1,643; 1,609; 1,622; 1,617; 1,618; ...etc...

Alla fine si arriva sempre lì: Al "Numero d'oro" come era chiamato. 1,618.

Ovvero qualunque sequenza di questo tipo a prescindere da quali siano i due numeri iniziali, converge alla "Sezione Aurea".

Ne avevo sentito parlare, ma sapevo solamente che in epoca Rinascimentale la "sezione aurea" aveva avuto una grande importanza non solo nel campo della scienze matematiche ma anche dell'architettura.
Certamente, dopo questa ennesima lezione di teoria e pratica, impartitaci da Ludovico, tutto mi è più chiaro.
Saluti

Franco

FAVOLOSO, FANTASTICO Ludovico
Finalmente una spiegazione chiara e pratica di cosa è e di come si usa la sezione aurea.

Complimenti e grazie davvero

Franz

grazie Ludovico per la preziosa lezione,
conoscevo la sezione aurea ma devo dire che tu l'hai trattata veramente bene e soprattutto con esempi.

aggiungo una cosa da quasi ingegnere civile con passione e orientamento per l'acustica e la musica: se volete sentire bene il vostro hi-fi in casa, sistematelo in una stanza in cui il rapporto tra altezza,larghezza e lunghezza segua la sezione aurea esattamente.

eviterete riflessioni parassite e altro. sembra una pazzia ma le onde sonore sono sensibili a tale rapporto. i più grandi progettisti di sale da concerto e casalinghe e studi seguono tale rapporto.

Ciao!

ovviamente il mio consiglio vale se la casa dovete costruirvela non demolite tutto per seguire il mio consiglio

Grazie, Ludovico, per queste preziose informazioni, e io che ero rimasto alla semplice regola dei terzi (che è poi la base dell'.... aureità )

Perchè non disegnare uno schermo di messa a fuoco "aureo"??? potrebbe essere una bella idea!

se volete sentire bene il vostro hi-fi in casa, sistematelo in una stanza in cui il rapporto tra altezza,larghezza e lunghezza segua la sezione aurea esattamente.

E ponetevi per l'ascolto esattamente sul vertice del triangolo aureo...

Grazie per l'esauriente spiegazione, sono concetti che inconsciamente tutti abbiamo dentro ma dei quali non abbiamo la teoria... Conoscevo la sezione aurea, conoscevo la sequenza di Fibonacci (il "codice da Vinci" docet...) ma non sarei mai riuscito a spiegare tutto ciò così bene...

Grazie per l'interesssate spunto Ludofox!
Argomente veramente interessante e aggiungerei anche mistico!

1.618... etc è un numero presente in tantissime cose, definito in tantissimi modi e anche oggetto di culto, era alla base di alcune religioni pagane molto antiche che adoravano la natura (o madre natura).

Alcune curiosità su questo numero:
Prima di essere stato utilizzato dall'uomo per erigere edifici (ad esempio le piramidi) la natura ha pensato bene di "infilarlo" in tantissime cose compresi gli esseri umani.
Magari non ne siete consapevoli ma voi site un concentrato di questo numero.
Provate a dividere la lunghezza totale del vostro braccio per la lunghezza dal gomito alla spalla et voilà otterrete il numero aureo.
Stesso discordo per altezza totale diviso l'altezza dall'ombellico fino a terra.
Le dita non esulano da questo rapporto e così via per tante tante altre parti del corpo.
Il primo che scoprì questi rapporti è stato proprio DA Vinci, che nei suoi studi di medicina (sezionava i cadaveri per studiare il corpo umano) ha "scoperto" tale magnifica "coincidenza".

La sequenza di fibonacci (tra l'altro scoperta dallo stesso quasi per caso durante una gare di matemati per stabilire chi era il più veloce nei calcoli) poi è un'altro esempio di matematica mistica: è presente in natura in tantissime cose.
Il numero delle parti (scusate adesso non mi viene il nome esatto) che compone un pigna, ad esempio, è sempre un numero appartenente alla sequenza di Fibonacci.
Le foglie di un albero crescono seguendo tale sequenza, non vi ammorbo con le spiegazione dettagliata , e così via

Altro esempio di perfezione è la stella di David (quella a cinque punte per capirci) la quale è il numero aureo per definizione.

Perdonate la semplicità delle "spiegazione" ma spero di avervi incuriosito e stimolato a continuare le ricerca su internet..... fonte inesauribile di preziose (e molto più precise delle mie ) informazioni.
Ciao

...non ho parole...

Ludovico, la tua esperienza (e soprattutto la tua voglia di condividere con noi le tue conoscenze) è un inestimabile valore aggiunto al nostro forum! (e spero che gli altri "mostri sacri" non me ne vogliano )



Stefano

Ludovico non finisci mai di stupire!

Grazie e complimenti per le tue capacità , conoscenze , ma soprattutto per la tua 'VERA' passione che hai trasformato in lavoro!

Vado un po controcorrente ..... perdonatemi.

Regole auree .... 2/3 .... ecc.

Non ho mai capito (pur conoscendole) se servono per giustificare una innata propensione compositiva/creativa ....o per rinchiudere le opere in uno schema di parametri di valutazione .... caro ai critici, e sul quale basare tutte le teorie ..... o l'esatto opposto.

Non è forse vero che le opere più geniali .... sono quelle che rompono gli eschemi ...?

Quante sono le misure che coincidono con i "numeri magici" .... tantissime.

Ma di più sono quelle che non si avvicinano nemmeno a tali numeri .... ma di queste nessuno ne parla ....

Naturalmente un sincero grazie a Ludovico, che con pazienza e professionalità ci fornisce queste perle di conoscenza sulle quali è giusto riflettere.

Quindi ... impariamole tutte ... e infrangiamole con consapevolezza.

Alcune curiosità su questo numero:
Prima di essere stato utilizzato dall'uomo ...

Ciao Andrea sarò breve perché in realtà ciò che sto dicendo è un OT, ma se ti interessa potremo continuare in MP.

L'interessante teoria dell'applicazione del Rapporto Aureo alla Natura è e rimarrà sempre assolutamente una teoria nata nei greci per descrivere dei rapporti "classici" ma assolutamente non applicabili quale regola agli accadimenti umani. Alcuni culti/credenze hanno poi fatto loro tali teorie (sono comparsi anche libri di scrittori più o meno illustri che abbracciavano tale teoria applicata in maniera un pò avventata alla natura).
Alcuni anni fa mi incuriosì tale teoria e consultai anche alcuni ortopedici per verificare la reale fondatezza e fu smentita clamorosamente.

Riguardo alla sequenza di Fibonacci e il suo campo pratico: nella realtà è assolutamente impraticabile:
ES. pensa un albero con 28657 foglie se il tutto fosse corretto questo povero albero sarebbe costretto a mettere di colpo 17711 gemme per poter seguire la regola e la volta dopo ben 28657...

Affascinante il mondo delle leggende metropolitane...

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Affascinante il mondo delle leggende metropolitane...

[/quote]

Non sono d'accordo.....
Comunque come dici non andiamo oltre siamo OT.
Ti mando un po di materiale via MP appena ho tempo.
Ciao

p.s. Riguardo agli alberi non intendevo il numero delle foglie bensì la loro dislocazione sul fusto.

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.....Non è forse vero che le opere più geniali .... sono quelle che rompono gli schemi ...?
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Quindi ... impariamole tutte ... e infrangiamole con consapevolezza.

Assolutamente d'accordo kurtz. Per poter infrangere le regole, occorre conoscerle però molto bene.

E conoscere bene le regole vuol dire poterle (come dici tu) infrangere sapendo cosa si sta facendo. Sennò si va un po' a casaccio.

Io penso che in generale, l'equilibrio di una composizione sia la risultante di una divisione ben precisa dello spazio.
E forse questo rapporto 1,618.. è innato. O forse è un condizionamento determinato da moltissimi esempi in natura che sottostanno (più o meno) a questa regola.

Del resto con la musica è la stessa cosa. Anche in culture diverse e che hanno avuto pochi contatti (o nessuno) si è sviluppata la stassa scala tonale fatta di mezzi toni e non di quarti di tono o di terzi di tono. Evidentemente nel nostro cervello esiste una sorta di quantizzazione della musica che ci fa adottare come minimo salto il mezzo tono.

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L'interessante teoria dell'applicazione del Rapporto Aureo alla Natura è e rimarrà sempre assolutamente una teoria nata nei greci per descrivere dei rapporti "classici" ma assolutamente non applicabili quale regola agli accadimenti umani. Alcuni culti/credenze hanno poi fatto loro tali teorie (sono comparsi anche libri di scrittori più o meno illustri che abbracciavano tale teoria applicata in maniera un pò avventata alla natura).
Alcuni anni fa mi incuriosì tale teoria e consultai anche alcuni ortopedici per verificare la reale fondatezza e fu smentita clamorosamente.
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Affascinante il mondo delle leggende metropolitane...

Carissimo Fabio.

Non vorrei che mi avessi frainteso. Non ho parlato di numerologia, di numeri magici o di culti e credenze. Ne tanto meno di leggende metropolitane.

Ho parlato di matematica applicata all'arte visuale.

Sul fatto poi del rapporto che la natura ha con il nostro numero, allego un esempio abbastanza emblematico.

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Vorrei inoltre condividere con voi una mia convinzione, forse un po' fuori tema.

Il mio ...orrore quando viene a galla (purtroppo spesso) il luogo comune che vorrebbe arte e scienza due aspetti della cultura assolutamente in antitesi e assolutamente inconciliabili. Nulla di più sbagliato credo!!!

La musica segue regole matematiche.
L'arte visuale, lo abbiamo visto, pure.

L'eleganza di un'equazione matematica che spiega come funziona il mondo fisico che ci circonda (una per tutte E=mc2) è altrettanto emozionante quanto contemplare un capolavoro della pittura!

Einstein o Bhor, Pauli o Heisemberg - tanto per citarne solo alcuni - sono stati personaggi tra i più creativi del secolo appena trascorso.
Hanno messo in gioco tutta la loro vita al servizio della loro inestinguibile passione: la fisica teorica.
Che differenza c'è con un artista?

La curiosità, la sana curiosità è la caratteristica principe dell'essere umano.

Capire perchè ...capire come, quando! ... E l'umiltà di avere, lungo il corso della nostra vita, una sola certezza: La certezza di avere ancora molto da imparare.

Si ...un po' fuori tema ma volevo dirvelo lo stesso!

Grazie a tutti!

Carissimo Fabio.

Non vorrei che mi avessi frainteso. Non ho parlato di numerologia, di numeri magici o di culti e credenze. Ne tanto meno di leggende metropolitane.

Ho parlato di matematica applicata all'arte visuale.

Sul fatto poi del rapporto che la natura ha con il nostro numero, allego un esempio abbastanza emblematico. 

Ops, forse ho frainteso io!!!
Scusami Fabio!

....La musica segue regole matematiche.
L'arte visuale, lo abbiamo visto, pure....

Eppure si suonava e si faceva musica ... ben prima dell'avvento della matematica.

Ecco cosa mi fa essere dubbioso.

Nell'esempio che hai allegato, potremmo da scettici asserire che la massa del soggetto occupa 1/4 dell'area ..... e con questo.

Crediamo che quella conchiglia ( è una conchiglia vero ?) abbia fatto di conto nella sua milionaria evoluzione....?

Oppure molte ( non tutte naturalmente) delle regole che creiamo e cerchiamo di applicare a tutto .... sono solo un disperato bisogno di giustificare la nostra esistenza ....?

E quante altre conchiglie hanno forme non riconducibili a nessuno schema matematico...?

Siamo sicuri che tra molti anni, le stesse regole che scriviamo e che applichiamo .... non saranno stravolte alla luce di nuove e più ampie conoscenze ....?

Fino a poco tempo fa la Terra era il centro dell'universo ..... e chissà se fra qualche secolo anche il famoso E=mc2 non segua la stessa sorte.

Sia ben chiaro Ludovico, che non mi contrappongo a quel che dici per pura polemica, ma esterno un pensiero un po più dubbioso e critico circa le gabbie nelle quali vogliamo restringere la creatività della Natura e dell'Uomo.

Ma forse la mia è solo ignoranza ... e scusate l' O.T.

Eppure si suonava e si faceva musica ... ben prima dell'avvento della matematica.

È molto probabile, Fabio, e possiamo immaginare che la prima 'musica' ripetesse in qualche modo il battito cardiaco, ma all'istintivo tam tam succede nel tempo proprio la fissazione di regole. La leggenda vuole che sia stato Pitagora ad accorgersi dei rapporti musicali ascoltando un fabbro battere sul metallo, e la cetra greca li ha fissati stabilendo la lunghezza delle corde in 6, 8, 9, 12, che hanno tra loro precisi rapporti armonici. Le note che utilizziamo tutt'oggi corrispondono a precisi rapporti aritmetici (ma dovrei dire armonici), che sono sostanzialmente:

ut 1
re 8/9
mi 4/5
fa 3/4
sol 2/3
la 3/5
si 8/15
do 1/2

Crediamo che quella conchiglia ( è una conchiglia vero ?) abbia fatto di conto nella sua milionaria evoluzione....?

È improbabile che il Nautilus pompilius abbia imparato a far di conto, com'è improbabile che un cristallo cubico abbia studiato Euclide e i solidi platonici...

Oppure molte ( non tutte naturalmente) delle regole che creiamo e cerchiamo di applicare a tutto .... sono solo un disperato bisogno di giustificare la nostra esistenza ....?

Forse è questo è il punto. Platone diceva che Dio geometrizza tutto, e in definitiva Einstein gli faceva eco quando affermava che Dio non gioca a dadi (cioè non lascia al caso...), ma è ovvio che per accettare queste affermazioni bisogna accettare che Dio esista, e qui la questione si fa complessa...

Certamente l'uomo ha un bisogno d'ordine, tant'è che in fondo le opere d'arte hanno valore proprio per la loro rarità formale, cioè perché introducono un ordine nel mondo. È improbabile che tirando una secchiata di colori sulla tela ne scaturisca un ritratto... E anche un consorzio civile tenta di stabilire un ordine. La scienza si fonda proprio su ciò, giacché studia esclusivamente i fenomeni che si ripetono, e anche la ripetizione è un ordine...

Certamente l'universo ha un ordine, altrimenti non potremmo prevedere a che ora avverrà l'alba di un determinato giorno e dove si troverà saturno tra sei anni, due mesi, tre giorni, quattro ore e cinque minuti. E poiché nessuno ha stabilito questi ritmi, diciamo così, ne ricaviamo l'idea che la natura segua determinate regole, e tentiamo di intenderle, e magari ripeterle.

Siamo sicuri che tra molti anni, le stesse regole che scriviamo e che applichiamo .... non saranno stravolte alla luce di nuove e più ampie conoscenze ....?

Naturalmente no, ma questo è un nostro limite, non della natura...

Tornando alla sezione aurea, la ragione per cui può essere riscontrata nella natura si fonda sul fatto che implica un fattore di crescita costante. A me sembra che più l'organismo è semplice, e più visibile è la sua struttura geometrica. Viceversa più l'organismo è complesso e meno visibile è la sua struttura geometrica.

Un buon testo per affrontare questo problema evitando Dan Brown e chi l'ha preceduto è D'Arcy Thompson, Crescita e forma. D'Arcy Thompson è di parte, cioè sostiene che la natura si basi su leggi formali e strutturali, ma da grandissimo scienziato e biologo qual era, e quindi cerca di dimostrarlo alla maniera scientifica, con dati alla mano. Comunque un libro affascinante, edito da Boringhieri ormai troppi anni fa.

Carissimo Fabio.

Non vorrei che mi avessi frainteso. Non ho parlato di numerologia, di numeri magici o di culti e credenze. Ne tanto meno di leggende metropolitane.

Ho parlato di matematica applicata all'arte visuale.

Sul fatto poi del rapporto che la natura ha con il nostro numero, allego un esempio abbastanza emblematico. 

Ops, forse ho frainteso io!!!
Scusami Fabio!

Nessun problema Ludovico,
infatti sono assolutamente concorde sulle tue affermazioni riguardante il rapporto aureo quale metro estetico delle proporzioni, anche se in realtà lo condivido in toto solo quando parli di rettangolo aureo, molto meno nell’applicazione dei triangoli.
Nei miei studi l'età classica e le proporzioni classiche mi hanno sempre affascinato e ancor adesso i miei progetti architettonici ne sono notevolmente influenzati.

Sono, come già espresso, molto più scettico nel voler semplicisticamente vincolare la natura in un rapporto. Infatti se alcune forme naturali si possono avvicinare a questo rapporto, per poterlo far diventare una legge o in alcuni casi quasi scienza esso deve potersi manifestare in ogni campione preso quale riferimento. Uno schema geometrico forzatamente (e in alcuni casi maldestramente) inscritto o circoscritto in una forma naturale non significa assolutamente nulla se non comprovato dalla ripetibilità dell’evento: la geometria non è una approssimazione, il resto sono coincidenze.

La fotografia è sicuramente un campo ove la riproduzione è regola: quindi ne consegue che l'estetica del rapporto aureo è nel nostro campo assolutamente riproducibile e utilizzabile.

Sono, come già espresso, molto più scettico nel voler semplicisticamente vincolare la natura in un rapporto. Infatti se alcune forme naturali si possono avvicinare a questo rapporto, per poterlo far diventare una legge o in alcuni casi quasi scienza esso deve potersi manifestare in ogni campione preso quale riferimento. Uno schema geometrico forzatamente (e in alcuni casi maldestramente) inscritto o circoscritto in una forma naturale non significa assolutamente nulla se non comprovato dalla ripetibilità dell’evento: la geometria non è una approssimazione, il resto sono coincidenze.

Fabio esprime bene il mio pensiero. Ho scritto prima che la sezione aurea «può essere riscontrata nella natura», ma si presta a confusioni. meglio dire che può essere riscontrata in alcuni fenomeni naturali. Ridurre la complessità della natura alla sola sezione aurea sarebbe ovviamente troppo semplistico e generalizzante.

Un'unica osservazione a quanto ha scritto Fabio. Secondo me poni un crinale troppo netto tra geometria, approssimazione e coincidenze. Infatti la geometria va intesa, nel mondo naturale, come modello strutturale e di sviluppo. In altre parole possiamo dire che una determinata forma organica tende a un determinato modello (ricordo bene gli studi di D'Arcy Thompson sui femori degli Ungulati...), ma ovviamente vi sono molteplici altri fattori da tenere in considerazione, quali quelli ambientali e così via.

Effettivamente la conchiglia del nautilus pompilius si approssima parecchio alla spirale aurea basata sul rettangolo aureo, ma un periodo particolarmente negativo -riduzione delle risorse alimentari, per esempio- può rallentarne la crescita e modificare la sua approssimazione al modello.

Se torniamo alla fotografia, effettivamente anch'io trovo più opportuno l'uso del rettangolo aureo, rispetto ai triangoli, ma francamente preferisco utilizzare le modulazioni implicite nei formati tipici. Il 24x36 e il 6x9 sono formati in 2/3 (corrispondente al sol), e mi sembra più logico esaltare questo formato utilizzandolo anche per le scansioni interne, cioè per la distribuzione degli spazi e dei rapporti. Altrettanto direi per il 3x4 (corrispondente al fa), tipico delle compatte, della Tv, e così via. Non ho mai usato il 4x5" (corrispondente al mi) del grande formato, ma farei altrettanto in questo caso.

Carissimi Fabio e Nico.

Brevemente sulla regola "Aurea" in natura.

Secondo me ha detto bene Nico: "...possiamo dire che una determinata forma organica tende a un determinato modello"

Le regole e le leggi della geometria sono per definizione regole fisse. Quello che vediamo però è la tendenza che alcune manifestazioni della natura ci rivelano.
Anche il triangolo, nella geometria euclidea ha una regola ferrea: la somma degli angoli interni è di 180° ma quando noi descriviamo un triangolo su una superfice sferica (la Terra che abitiamo ad esempio), sappiamo che non è vero. Facciamo un'approssimazione molto vicina se tracciamo un triangolo piccolo, ma se dovessimo descrivere un triangolo che ha come vertice il Polo Nord, come lati il meridiano 0° e quello 90° e come base l'equatore, avremo un triangolo equilatero i cui i lati interni formano angoli retti, con la conseguente somma di 3 X 90° = 270°.
Ma questa è un'altra storia.....

Tornando invece al tema.
Vorrei riproporre la foto di mariomc2, e far notare la quasi perfetta linearità sull'asse verticale delle due teste delle ballerine in piedi e l'anca di quella seduta.

Forse una coincidenza, ...forse una ricerca forzata di strutturare entro gabbie e schemi un'immagine casuale, ...ma il sospetto che anche il coreografo si sia studiato la "Sezione Aurea" è, mi sembra, abbastanza fondato.

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